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淺談浮點(diǎn)數(shù)

浮點(diǎn)型變量在計(jì)算機(jī)內(nèi)存中占用4字節(jié)（Byte）,即32-bit。遵循IEEE-754格式標(biāo)準(zhǔn)。

一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)由2部分組成：底數(shù)m 和 指數(shù)e。

±mantissa × 2exponent（注意，公式中的mantissa 和 exponent使用二進(jìn)制表示）

底數(shù)部分　使用２進(jìn)制數(shù)來(lái)表示此浮點(diǎn)數(shù)的實(shí)際值。

指數(shù)部分　占用８-bit的二進(jìn)制數(shù)，可表示數(shù)值范圍為0－255。　但是指數(shù)應(yīng)可正可負(fù)，所以IEEE規(guī)定， 此處算出的次方須減去127才是真正的指數(shù)。所以float的指數(shù)可從 -126到128。

底數(shù)部分實(shí)際是占用24-bit的一個(gè)值，由于其高位始終為 1 ，所以高位省去不存儲(chǔ)，在存儲(chǔ)中只有23-bit。

到目前為止， 底數(shù)部分 23位 加上指數(shù)部分 8位 使用了31位。那么前面說(shuō)過(guò)，float是占用4個(gè)字節(jié)即 32-bit，那么還有一位是干嘛用的呢？ 還有一位，其實(shí)就是4字節(jié)中的高位，用來(lái)指示浮點(diǎn)數(shù)的正負(fù)，當(dāng)高位是1時(shí)，為負(fù)數(shù)，高位是0時(shí)，為正數(shù)。

浮點(diǎn)數(shù)據(jù)就是按下表的格式存儲(chǔ)在4個(gè)字節(jié)中：

Address+0 Address+1 Address+2 Address+3
        Contents SEEE EEEE EMMM MMMM MMMM MMMM MMMM MMMM 
        S: 表示浮點(diǎn)數(shù)正負(fù)，1為負(fù)數(shù)，0為正數(shù)
        E: 指數(shù)加上127后的值的二進(jìn)制數(shù)
        M: 24-bit的底數(shù)（只存儲(chǔ)23-bit）

注意：這里有個(gè)特例，浮點(diǎn)數(shù) 為0時(shí)，指數(shù)和底數(shù)都為0，但此前的公式不成立。因?yàn)?的0次方為1，所以0是個(gè)特例。當(dāng)然，這個(gè)特例也不用認(rèn)為去干擾，編譯器會(huì)自動(dòng)去識(shí)別。

通過(guò)上面的格式，我們下面舉例看下-12.5在計(jì)算機(jī)中存儲(chǔ)的具體數(shù)據(jù)：

Address+0 Address+1 Address+2 Address+3
        Contents 0xC1 0x48 0x00 0x00

接下來(lái)我們驗(yàn)證下上面的數(shù)據(jù)表示的到底是不是-12.5，從而也看下它的轉(zhuǎn)換過(guò)程。

由于浮點(diǎn)數(shù)不是以直接格式存儲(chǔ)，他有幾部分組成，所以要轉(zhuǎn)換浮點(diǎn)數(shù)，首先要把各部分的值分離出來(lái)。

        Address+0 Address+1 Address+2 Address+3
                格式 SEEEEEEE EMMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM
                二進(jìn)制 11000001 01001000 00000000 00000000
                16進(jìn)制 C1 48 00 00
        可見：
                S: 為1，是個(gè)負(fù)數(shù)。
                E:為 10000010 轉(zhuǎn)為10進(jìn)制為130，130-127=3，即實(shí)際指數(shù)部分為3.
                M:為 10010000000000000000000。

這里，在底數(shù)左邊省略存儲(chǔ)了一個(gè)1，使用實(shí)際底數(shù)表示為 1.10010000000000000000000 。

現(xiàn)在，我們通過(guò)指數(shù)部分E的值來(lái)調(diào)整底數(shù)部分M的值。調(diào)整方法為：如果指數(shù)E為負(fù)數(shù)，底數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移，如果指數(shù)E為正數(shù)，底數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移。小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)由指數(shù)E的絕對(duì)值決定。

這里，E為正3，使用向右移3為即得：1100.10000000000000000000。

至次，這個(gè)結(jié)果就是12.5的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)，將他換算成10進(jìn)制數(shù)就看到12.5了，如何轉(zhuǎn)換，看下面：

小數(shù)點(diǎn)左邊的1100 表示為 (1 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (0 × 20), 其結(jié)果為 12 。

小數(shù)點(diǎn)右邊的 .100… 表示為 (1 × 2-1) + (0 × 2-2) + (0 × 2-3) + ... ，其結(jié)果為.5 。

以上二值的和為12.5， 由于S 為1，使用為負(fù)數(shù)，即-12.5 。

所以，16進(jìn)制 0XC1480000 是浮點(diǎn)數(shù) -12.5 。

上面是如何將計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)中的二進(jìn)制數(shù)如何轉(zhuǎn)換成實(shí)際浮點(diǎn)數(shù)，下面看下如何將一浮點(diǎn)數(shù)裝換成計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)格式中的二進(jìn)制數(shù)。

舉例將17.625換算成 float型。

首先，將17.625換算成二進(jìn)制位：10001.101 ( 0.625 = 0.5+0.125, 0.5即 1/2, 0.125即 1/8 如果 不會(huì)將小數(shù)部分轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，請(qǐng)參考其他書籍。) 再將 10001.101 向右移，直到小數(shù)點(diǎn)前只剩一位 成了 1.0001101 x 2的4次方 （因?yàn)橛乙屏?位）。此時(shí) 我們的底數(shù)M和指數(shù)E就出來(lái)了：

底數(shù)部分M，因?yàn)樾��?shù)點(diǎn)前必為1，所以IEEE規(guī)定只記錄小數(shù)點(diǎn)后的就好，所以此處底數(shù)為 0001101 。

指數(shù)部分E，實(shí)際為4，但須加上127，固為131，即二進(jìn)制數(shù) 10000011

符號(hào)部分S，由于是正數(shù)，所以S為0。

綜上所述，17.625的 float 存儲(chǔ)格式就是：0 10000011 00011010000000000000000

轉(zhuǎn)換成16進(jìn)制：0x41 8D 00 00

所以，一看，還是占用了4個(gè)字節(jié)。

接下來(lái)看存儲(chǔ)：

Float數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)： 
                【S】【30——Exp——23】【22——Frac——0】

Double數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)： 
                【S】【62——Exp——52】【51——Frac——0】 
        S: Sign bit 符號(hào)位 
        Exp: exponent(bias) 指數(shù)(偏移) 
        Frac: fraction 有效位數(shù)

Exp在公式中是2的冪，接近零的小數(shù)的描述應(yīng)為有符號(hào)數(shù)，有符號(hào)數(shù)的表示可以為符號(hào)位+數(shù)字位、補(bǔ)數(shù)等，IEEE754采用的是偏移法，不作過(guò)多解釋。

對(duì)Float偏移量為0x7F(127)、Double偏移量為0x3FF(1023)。

Frac便是有效位數(shù)，

注釋 浮點(diǎn)值 S Exp Frac 數(shù)學(xué)值 
        ----------------------------------------------------------------------- 
        零 0x00000000 0 0x00 0B000...000 0.0 
        ----------------------------------------------------------------------- 
        Min正次正規(guī)數(shù) 0x00000001 0 0x00 0B000...001 1.40129846e^-45 
        Max正次正規(guī)數(shù) 0x007FFFFF 0 0x00 0B111...111 1.17549421e^-38 
        ----------------------------------------------------------------------- 
        Min正正規(guī)數(shù) 0x00800000 0 0x01 0B000...000 1.17549435e^-38 
        Max正正規(guī)數(shù) 0x7F7FFFFF 0 0xFE 0B111...111 3.40282347e^+38 
        ----------------------------------------------------------------------- 
        Not a Number 0xXXXXXXXX x 0xFF 0Bxxx...xxx NaN是一個(gè)數(shù)族 
        正無(wú)限 0x7F800000 0 0xFF 0B000...000 +Inf 
        負(fù)無(wú)限 0xFF800000 1 0xFF 0B000...000 -Inf

首先舉例求Float_Max正正規(guī)數(shù)：

Exp =0xFE = 254； 
         Frac=(2^23 - 1) 
        代入： 2^127 * (1 + (2^23-1) * 2^-23) 
        = 2^128 - 2^104 
        = 3.4028e+38

其它的可自己求。

所以float 型的冪是38，Double的冪應(yīng)該是308。